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1 平均值1.1 算术平均值1.2 加权平均值1.3 对数平均值1.4 几何平均值1.5 调和平均值
【参考】【修改记录】
1 平均值
对一组数据求平均是最常见的操作之一，下面给出几种常见的平均值定义及它们的适用情况。
1.1 算术平均值
算术平均值（arithmetic mean）定义为：
x
ˉ
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
=
∑
i
=
1
n
x
i
n
.
\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}.
xˉ=nx1+x2+⋯+xn=n∑i=1nxi.
算术平均值适合试验值等精度且服从正态分布的情况。
1.2 加权平均值
加权平均值（weighted mean）定义为：
x
ˉ
W
=
w
1
x
1
+
w
2
x
2
+
⋯
+
w
n
x
n
w
1
+
w
2
+
⋯
+
w
n
=
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
∑
i
=
1
n
w
i
,
\bar{x}_W = \frac{w_1x_1 + w_2x_2 + \dots +w_nx_n}{w_1 + w_2 + \dots + w_n} = \frac{\sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i},
xˉW=w1+w2+⋯+wnw1x1+w2x2+⋯+wnxn=∑i=1nwi∑i=1nwixi, 其中
w
i
w_i
wi 是第
i
i
i 项
x
i
x_i
xi 的权重。
加权平均值适合不同试验值的精度或可靠性不一致的情况。
1.3 对数平均值
对数平均值（logarithmic mean）定义为：
设两个数
x
1
>
0
x_1 > 0
x1>0，
x
2
>
0
x_2 > 0
x2>0，则
x
ˉ
L
=
x
1
−
x
2
ln
x
1
−
ln
x
2
=
x
1
−
x
2
ln
x
1
x
2
=
x
2
−
x
1
ln
x
2
x
1
.
\bar{x}_L = \frac{x_1-x_2}{\ln x_1 - \ln x_2} = \frac{x_1 - x_2}{\ln \frac{x_1}{x_2}} = \frac{x_2 - x_1}{\ln \frac{x_2}{x_1}}.
xˉL=lnx1−lnx2x1−x2=lnx2x1x1−x2=lnx1x2x2−x1.
对数平均值适用于数据分布具有对数特性的情况，并且对数平均值
≤
\leq
≤ 算术平均值。如果
1
/
2
≤
x
1
/
x
2
≤
2
1/2\leq x_1/x_2 \leq 2
1/2≤x1/x2≤2 时，对数平均值可以用算术平均值代替。
1.4 几何平均值
几何平均值（geometric mean）定义为：
设有
n
n
n 个正试验值，
x
1
x_1
x1，
x
2
x_2
x2，
…
\dots
…，
x
n
x_n
xn，则
x
ˉ
G
=
x
1
x
2
…
x
n
n
=
(
x
1
x
2
…
x
n
)
1
n
.
\bar{x}_G = \sqrt[n]{x_1x_2\dots x_n}=\left(x_1x_2\dots x_n \right)^{\frac{1}{n}}.
xˉG=nx1x2…xn
=(x1x2…xn)n1.
当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称时，宜采用几何平均值。并且，几何平均值
≤
\leq
≤ 算术平均值。
1.5 调和平均值
调和平均值（harmonic mean）定义为：
设有
n
n
n 个正试验值，
x
1
x_1
x1，
x
2
x_2
x2，
…
\dots
…，
x
n
x_n
xn，则
1
x
ˉ
H
=
1
x
1
+
1
x
2
+
⋯
+
1
x
n
n
=
∑
i
=
1
n
1
x
i
n
.
\frac{1}{\bar{x}_H} = \frac{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}{n}.
xˉH1=nx11+x21+⋯+xn1=n∑i=1nxi1.
调和平均值常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合。并且，调和平均值
≤
\leq
≤ 几何平均值
≤
\leq
≤ 算术平均值。
【参考】
课程老师的 PPT
【修改记录】
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