矩阵的酉相似（合同变换）
2023年11月7日 #algebra
文章目录
矩阵的酉相似（合同变换）1. 酉矩阵2. 酉相似3. Schur分解定理4. 正规矩阵5. 酉相似对角化6. Hermit矩阵，反Hermit矩阵及酉矩阵的特性7. Hermit矩阵的正定性下链
1. 酉矩阵
设
A
∈
C
n
×
n
{A\in \mathbb C^{n \times n}}
A∈Cn×n ，若
A
{A}
A 满足
A
H
A
=
A
A
H
=
I
A^ \mathrm HA=AA^ \mathrm H=I
AHA=AAH=I 则称
A
{A}
A 为酉矩阵（）。由定义可得
A
−
1
=
A
H
A^{-1}=A^ \mathrm H
A−1=AH 当
A
∈
R
n
×
n
{A\in \mathbb R^{n \times n}}
A∈Rn×n ，酉矩阵就是单位正交矩阵。 性质 若
A
∈
C
n
×
n
{A\in \mathbb C^{n \times n}}
A∈Cn×n 是酉矩阵，则
∣
det
A
∣
=
1
{|\det A|=1}
∣detA∣=1
A
T
,
A
H
,
A
−
1
{A^T,A^H,A^{-1}}
AT,AH,A−1 仍为酉矩阵若
B
{B}
B 也是酉矩阵，则
A
B
{AB}
AB 也是酉矩阵
显然，酉矩阵列向量是空间中一组标准正交基，这是酉矩阵的充要条件。
2. 酉相似
设
A
,
B
∈
C
n
×
n
{A,B\in \mathbb C^{n \times n}}
A,B∈Cn×n ，若存在酉矩阵
U
{U}
U 使得
B
=
U
−
1
A
U
=
U
H
A
U
B=U^{-1}AU=U^ \mathrm HAU
B=U−1AU=UHAU 则称
A
{A}
A 与
B
{B}
B 酉相似。 相似变换与逆矩阵有关，相似变换前后的矩阵为相似矩阵。 合同变换与酉矩阵有关，合同变换前后的矩阵为合同矩阵。
3. Schur分解定理
设
∀
A
∈
C
n
×
n
\forall A\in \mathbb C^{n \times n}
∀A∈Cn×n ，若存在酉矩阵
U
{U}
U 使得
T
=
U
−
1
A
U
=
U
H
A
U
=
[
λ
1
t
12
⋯
t
1
n
0
λ
2
⋱
⋮
0
0
⋱
t
(
n
−
1
)
n
0
0
0
λ
n
]
T=U^{-1}AU=U^ \mathrm HAU= \begin{bmatrix} \lambda_1 & t_{12} & \cdots & t_{1n} \\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ddots & t_{(n-1)n}\\ 0 & 0 & 0 & \lambda_n \end{bmatrix}
T=U−1AU=UHAU=
λ1000t12λ200⋯⋱⋱0t1n⋮t(n−1)nλn
其中
λ
1
,
λ
2
,
⋯
,
λ
n
\lambda_1, \lambda_2,\cdots,\lambda_n
λ1,λ2,⋯,λn 是
A
{A}
A 的特征值，即任意
A
{A}
A 都可酉相似与一个上三角矩阵
T
{T}
T 。
4. 正规矩阵
设
A
∈
C
n
×
n
{A\in \mathbb C^{n \times n}}
A∈Cn×n 满足
A
H
A
=
A
A
H
A^ \mathrm HA=AA^ \mathrm H
AHA=AAH 则称A为正规矩阵。正规矩阵有以下类型：
实对称矩阵
A
∈
R
n
×
n
,
A
T
=
A
{A\in \mathbb R^{n \times n}, A^ \mathrm T =A}
A∈Rn×n,AT=A实反对称矩阵
A
∈
R
n
×
n
,
A
T
=
−
A
{A\in \mathbb R^{n \times n}, A^ \mathrm T =-A}
A∈Rn×n,AT=−A实正交矩阵
A
∈
R
n
×
n
,
A
T
A
=
A
A
T
=
I
{A\in \mathbb R^{n \times n}, A^ \mathrm T A=AA^ \mathrm T=I}
A∈Rn×n,ATA=AAT=IHermit矩阵
A
∈
C
n
×
n
,
A
H
=
A
{A\in \mathbb C^{n \times n}, A^ \mathrm H=A}
A∈Cn×n,AH=A反Hermit矩阵
A
∈
C
n
×
n
,
A
H
=
−
A
{A\in \mathbb C^{n \times n}, A^ \mathrm H=-A}
A∈Cn×n,AH=−A酉矩阵
A
∈
C
n
×
n
,
A
H
A
=
A
A
H
=
I
{A\in \mathbb C^{n \times n}, A^ \mathrm H A=AA^ \mathrm H}=I
A∈Cn×n,AHA=AAH=I
正规矩阵不一定是以上六类矩阵。
5. 酉相似对角化
设
A
∈
C
n
×
n
{A\in \mathbb C^{n \times n}}
A∈Cn×n ，则A可酉相似对角化的条件是
A
H
A
=
A
A
H
A^ \mathrm HA=AA^ \mathrm H
AHA=AAH 即A为正规矩阵。方法如下：
求出A的全部特征值，和相应的重数对这些特征值求特征向量对特征向量做schmidt正交化
6. Hermit矩阵，反Hermit矩阵及酉矩阵的特性
设
A
∈
C
n
×
n
{A\in \mathbb C^{n \times n}}
A∈Cn×n ，则
A
{A}
A 是Hermit矩阵
⟺
\iff
⟺
A
{A}
A 的特征值全是实数
A
{A}
A 是反Hermit矩阵
⟺
\iff
⟺
A
{A}
A 的特征值是
0
{0}
0 或纯虚数
A
{A}
A 是酉矩阵
⟺
\iff
⟺
A
{A}
A 的特征值的模是
1
{1}
1
λ
{\lambda}
λ 是
A
{A}
A 的特征值，
x
{x}
x 是对应
λ
{ \lambda}
λ 的特征向量，则
λ
ˉ
{\bar \lambda}
λˉ 是
A
H
{A^ \mathrm H}
AH 的特征值，对应
λ
ˉ
{\bar \lambda}
λˉ 的特征向量仍为
x
{x}
x
7. Hermit矩阵的正定性
设
A
∈
C
n
×
n
{A\in \mathbb C^{n \times n}}
A∈Cn×n 是一个Hermit矩阵，如果
x
H
A
x
>
0
,
∀
x
∈
C
n
,
x
≠
0
x^ \mathrm HAx>0, \forall x\in \mathbb C^{n},x\ne 0
xHAx>0,∀x∈Cn,x=0 则称
A
{A}
A 是一个正定的Hermit矩阵。 如果
x
H
A
x
≥
0
,
∀
x
∈
C
n
,
x
≠
0
x^ \mathrm HAx\ge0, \forall x\in \mathbb C^{n},x\ne 0
xHAx≥0,∀x∈Cn,x=0 则称
A
{A}
A 是一个半正定的Hermit矩阵。
设
A
∈
C
n
×
n
{A\in \mathbb C^{n \times n}}
A∈Cn×n 是一个Hermit矩阵，则下述条件等价
A
{A}
A 是正定的Hermit矩阵
A
{A}
A 的特征值全为正数存在可逆矩阵
P
{P}
P 使得
A
=
P
H
P
{A=P^ \mathrm HP}
A=PHP
A
{A}
A 的顺序主子式全为正数
设
A
∈
C
n
×
n
{A\in \mathbb C^{n \times n}}
A∈Cn×n 是一个Hermit矩阵，则下述条件等价
A
{A}
A 是半正定的Hermit矩阵
A
{A}
A 的特征值全为非负数存在可逆矩阵
P
{P}
P 使得
A
=
P
H
P
{A=P^ \mathrm HP}
A=PHP
设
A
∈
C
m
×
n
{A\in \mathbb C^{m \times n}}
A∈Cm×n ，则
A
H
A
{A^ \mathrm HA}
AHA 和
A
A
H
{AA^ \mathrm H}
AAH 的特征值全为非负实数
A
H
A
{A^ \mathrm HA}
AHA 和
A
A
H
{AA^ \mathrm H}
AAH 的非零特征值相同
rank
(
A
H
A
)
=
rank
(
A
A
H
)
=
rank
(
A
)
{\text{rank}( A^ \mathrm HA)= \text{rank}( AA^ \mathrm H)= \text{rank}(A)}
rank(AHA)=rank(AAH)=rank(A)
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